很认真很聪明的同学问的一道题+精选2021年名校数学分析考研试题、期末考试题及其部分保姆式参考答案

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很认真很聪明的同学问的一个问题题目:证明

证明: 方程组变形为

当时,即需要证明下面结论:对于任意0" data-formula-type="inline-equation">,存在互补相同的正整数列满足

第1步: 利用调和级数发散性,注意

总可以取使得

x_1u_1" data-formula-type="block-equation">

第2步: 可以取 m" data-formula-type="inline-equation">,使得

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第步: 一般地,可以取 n_{k-1}" data-formula-type="inline-equation">, 满足

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继续下去,知道无穷,得到互不相同的正整数列

记其为,其中

各项互不相同,为正项级数。容易看到其部分和的子列

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根据夹逼定理

所以结论对于成立。

注记: 对于一般情况时结论怎么证明,请同学们思考!!

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