2021年高考全国乙卷压轴题

16． 见理科数学第 题．

20． 已知抛物线 （0" data-formula-type="inline-equation" style="">）的焦点 到准线的距离为 ．

（1）求 的方程．

（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 的斜率的最大值．

答案　　（1）；

（2）．

解析　　（1）根据题意，焦点 到准线的距离 ，因此 的方程为 ．

（2）根据题意有 ，设 ，则

因此直线 的斜率

等号当 时取得，因此所求斜率的最大值为 ．

21． 已知函数 ．

（1）讨论 的单调性．

（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．

答案　　（1）记 ，．当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增；

（2） 和 ．

解析　　（1）根据题意，函数 的导函数

其判别式 ．

情形一　　当 时，，此时对任意 都有 ，所以 在 上单调递增．

情形二　　当 时，0" data-formula-type="inline-equation" style="">，此时 有两个互异实根，分别记为

当 时，0" data-formula-type="inline-equation" style="">；当 时，；当 时，0" data-formula-type="inline-equation" style="">．所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增．

（2）设切点坐标为 ，则切线方程为

代 入上式，可得

因此切线方程为

进而由

可知，．

因此所求公共点的坐标为 和 ．

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「木子李说数学」由中学数学老师李云皓主编。精选中学数学好题，从破题思路到精辟总结，深入浅出进行讲解，只要认真阅读和思考，一定能在几个月内获得明显的进步。

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