2021年全国高中数学联赛平面几何题解答

题1.如图在⊿ABC中，M是边AC的中点，D、E是⊿ABC的外接圆在点A处的切线上的两点，满足MD//AB，且A是线段DE的中点，过A、B、E三点的圆与边AC交于点P，过A、D、P三点的圆与DM的延长线交于点Q.求证：∠BCQ=∠BAC.( A卷题)证明：如图所示，连接EB，BP，延长DQ交BC于点N,由于MD//AB，知点N为BC的中点.易知∠EAB=∠C,又E、A、P、B四点共圆，所以∠BPC=∠BEA,于是⊿BEA∽⊿BPC,有== .注意到∠QNC=∠B，要是命题成立，只需⊿MNC∽⊿QCN,只需=.另一方面，由⊿AMD∽⊿CMN，有==,∠QPM=∠QDA=∠C,于是PQ//CN，有=,得：CP=,注意到= = = = .故命题得证！题2.如图所示，I是⊿ABC的内心，点P，Q分别是I在边AB、AC上的投影，直线PQ与⊿ABC外接圆交于点X，Y.(P在X、Q之间),已知B、I、P、X四点共圆，求证：C、I、Q、Y四点共圆.证明:由B、I、P、X四点共圆，有∠APQ=∠AIQ=90˚-∠A,同理∠AQP=90˚-∠A,于是∠XIB=∠XPB=∠APQ=∠IBC+∠ICB,知点X在CI 上，又∠YXI=∠PXI=∠PBI=∠B，所以B、I、Y共线.于是∠YIC=∠BIX=∠BPX=∠APQ=∠AQP=∠YQC，得C、I、Q、Y四点共圆.注：今年的联赛平面几何题是送分的！感觉2019年到2021年这三年来，平面几何充当了打酱油的角色，但在IMO中只有2020年平面几何题只有一题且显容易外，其余两年其实还是比较有难度的.余师傅等了一天结果等来这样两道容易的题，确实无语!