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数列是公比为正数的等比数列,,;数列前项和为,满足,.
(1)求,及数列,的通项公式;
(2)求.
参考答案【答案】
(1),,,,,,
(2),
【解析】
(1)方法一:(数列定义)易知,可得,故,;,,,则,,两式相减得,则,,同理两式相减得,,则为等差数列,故,.
(1)方法二:(数学归纳法)
同方法一,猜想,,然后再利用数学归纳法证明.
(2)方法一:利用错位相减法求和,由(1)可知,,则,两式相减整理得,,.
(2)方法二:利用裂项求和,由(1)可知,注意到,再采用裂项相消法求和.
(1)方法一:(数列定义)
易知,解得或,又公比为正数,则,故,;,,,则,,两式相减得,则,,同理两式相减得,(注:,也符合),则为等差数列,故,.
(1)方法二:(数学归纳法)
易知,解得或,又公比为正数,则,故,;,,猜想,,用数学归纳法证明.
①当时,成立;
②假设当时,成立,
当时,,则,即,故当时,结论也成立.由①②可知,对于任意的,均成立.
(2)方法一:(错位相减法求和)
由(1)可知,,
则,两式相减整理得,
,.
(2)方法二:(裂项求和)
由(1)可知,注意到,
故,.
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