谢惠民数学分析习题课讲义参考答案

谢惠民习题课讲义2.1数列极限的基本概念 2.1.1思考题

数列收敛有很多等价定义. 例如:

数列 收敛于 0,\exists N\in\mathbf{N}_{+},\forall n\geqslant N" data-formula-type="inline-equation" style="">, 成立 ;数列 收敛于 N" data-formula-type="inline-equation" style="">, 成立 .

注:有些像级数的 Weierstrass-M 判别法, 事实上也可以用 Cauchy 收敛准则给出一个和 Weierstrass-M 判别法类似的证明. 本条是所有二分法/三分法证明的基础.

数列 收敛于 0,\exists N\in\mathbf{N}_{+},\forall n>N" data-formula-type="inline-equation" style="">, 成立 . 其中 是一个与 和 无关的正常数.试证明以上定义与数列收敛等价. 取 . 显然. 取 . 由于 , 故存在 , 当 M" data-formula-type="inline-equation" style=""> 时, . 选定 , 使用定义, 存在, N" data-formula-type="inline-equation" style="">, 有

,使得

时都有 , 而 N_0" data-formula-type="inline-equation" style=""> 都可以是符合定义的 , 即每一个 都可以对应无穷多个 , 故不是.

判断: 若 收敛, 则有 和 .

. 对于任意给定的 0" data-formula-type="inline-equation" style="">, 存在 0" data-formula-type="inline-equation" style="">, 当 N" data-formula-type="inline-equation" style="">时有 , 从而 , 于是对于 N" data-formula-type="inline-equation" style="">,

设收敛数列 的数列, 由于 即 , 但显然 并不单调.. 判断: 非负数列的极限是非负数, 正数列的极限是整数.

非负数列的极限是非负数. 反证法. 假设非负数列 的极限为 , 则存在 , 当 N" data-formula-type="inline-equation" style=""> 时有

时有

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