李昌官:数学运算视角下的解析几何复习教学

原文发表于《中国数学教育》2021.5

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既高中数学解题研究，也教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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李昌官，台州市教育教学研究院书记，台州市特级教师协会会长，博士，正高级教师，特级教师，享受国务院特殊津贴，浙江省有突出贡献中青年专家，教育部“国培专家”，苏步青数学教育一等奖获得者，人教版中学数学教材编者，人教社中学数学讲师团专家，浙江师范大学客座教授，浙江师大教育硕士导师，浙派名师高中数学项目组导师，浙江省特级教师协会常务理事，浙江省中学数学教育研究会副会长，台州市终身拔尖人才。主持研究的课题有1项获2018年国家级基础教育教学成果二等奖，4项获浙江省基础教育教学成果奖。专著有《素养为本的中学数学教学》（2021.9出版）《高中数学研究型教学》和《寻找数学内在的力量》。

数学运算视角下的解析几何复习教学

李昌官

（浙江省台州市教育教学研究院）

摘要：以数学运算素养为主要视角，在剖析解析几何学科特点、分析学生认知基础的基础上，确定了解析几何复习教学的目标，构建了解析几何复习教学的思路与框架．

关键词：数学运算；解析几何；复习教学

运算既是数学的基本特征，也是数学解决问题的基本手段．解析几何与数学运算具有天然的联系．一方面，解析几何是发展学生数学运算素养的极好载体；另一方面，解析问题往往需要借助数学运算来解决．与新课教学相比，复习教学不仅涉及面广、内容多，而且处于学生学习“总—分—总”中第二个“总”的阶段，因此更需要强化整体性与联系性，更需要从数学学科核心素养视角加以审视和设计．

一、数学运算视角下的解析几何学科特点

数学运算素养具有思想性、概念性、综合性、技能性与层次性；数学运算过程可分为理解运算对象、明确运算目标、分析运算条件、探寻运算思路、设计运算程序、求得运算结果、检验运算结果等七个环节．[[i]]

解析几何中的数学运算与其他数学运算相比，既有共性，也有差异．解析几何中，运算对象通常是点和曲线所对应的坐标与方程，以及长度、角度、面积等几何量．运算目标是搞清楚曲线的大小、形状与位置关系，证明几何结论或求得几何结果．运算条件是点、直线、圆锥曲线及其形状、大小和位置关系．运算思路：一是坐标化，把几何条件转化为代数方程，通过方程运算来解决问题；二是数形互助，即由“形”启示、寻找运算的目标、思路与方法，再借助“数”对“形”进行定量研究和精准分析．运算方法通常是解方程或方程组，并对刻画几何对象的代数表示式进行变形．运算结果是得到相应的代数结论．运算结果检验是指能检查方程的适用条件与适用范围、方程与曲线的等价性，给出代数结论的几何解释．

解析几何中的运算是借助几何条件与图形性质，为解决几何问题而进行的运算，而不是纯代数运算．这在很大程度上决定了解析几何中的运算应充分发挥“数”与“形”两方面的特点与优势，尤其是应充分利用图形的性质来发现运算思路、简化运算程序．

二、数学运算视角下的学生解析几何认知基础

学生已经学习了高考所要求的高中解析几何全部内容，对直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程已经有基本的了解或理解，也能借助方程进行求解或证明，但他们对解析几何基本思想的理解还很肤浅，解题往往停留在通过机械训练获得的条件反射水平，对解题思维的自然性、合理性缺乏应有的理解．在数学运算方面，他们通常有较强的运算技能，但缺少运算思想、运算策略的指引，运算过程往往是“摸着石头过河”，盲目性较强，数学运算素养并不高．

学生解决解析几何问题的难点往往不在于解析几何知识本身，而在于解析几何与其他知识的综合；不在于运算技巧与方法，而在于思维，在于如何寻找合理的运算思路与方法；不在于运算的难与繁，而在于学生心理上怕难、怕繁．为此，教学时，应加强解析几何知识与其他相关数学知识的联系，尤其应建立非人为的、实质性的联系；应在运算思路与方法的寻找、运算思维的自然性与合理性上下功夫；应把作为知识和技能的运算教学与作为习惯和品性的运算教学有机地结合起来．

三、数学运算视角下的解析几何复习教学目标

数学运算视角下的解析几何复习教学目标是学生能深化对解析几何基本思想与基本方法、曲线与方程关系的理解，能用代数语言把几何条件和几何问题转化为代数条件和代数问题；能根据具体问题的情境与特点，建立适当的平面直角坐标系，并自觉地通过建立方程、求解方程解决有关几何问题；能自觉地按数学运算的基本步骤（理解运算对象、明确运算目标、分析运算条件、探寻运算思路、设计运算程序、求得运算结果、检验运算结果）求解，能通过数学运算促进规范化思考问题的习惯、一丝不苟的科学精神和工作不怕繁难的个性品质的养成．

四、数学运算视角下的解析几何复习教学指导思想

数学运算视角下的解析几何复习教学指导思想是强化数学运算素养教学与坐标法思想教学的融合、智力因素与非智力因素的融合、探究运算主导思想与突破运算特定难点的融合，强化把几何条件、几何问题转化为代数条件、代数问题的思路与方法，强化运算思路、运算方法形成的缘由、依据、过程与方法，并让学生经历包括理解运算对象、探索运算思路、检验运算结果等在内的完整的运算过程．

五、数学运算视角下的解析几何复习教学框架

1.解析几何中数学运算的背景与缘由

除了明确如何把几何条件转化为代数条件外，还需要明确如何把几何目标转化为代数目标．如，要判断曲线的类型和形状，只要搞清楚相应方程的特征；求证两直线平行或垂直只要证明它们的斜率相等或互为负倒数；求证曲线关于某点或某直线对称只要证明该曲线上任一点关于某点或某直线的对称点也在该曲线上，亦即该曲线上任一点关于某点或某直线的对称点的坐标满足该曲线的方程；要求某几何量的最值或取值范围需要建立该几何量与另一几何量的联系，用代数表达式刻画这种联系，再利用函数性质、函数工具等求出．

〖设计说明〗揭示几何条件、几何目标转化为代数条件、代数目标的策略与方法；明确方程的本质是曲线几何特征的代数表示，搞清楚建立曲线方程的策略、方法与注意点；促进学生自觉地、自然地把几何问题转化为代数问题．

3.解析几何中数学运算的思路与方法

解析几何中数学运算的思路与方法首推坐标法．即要借助坐标系和方程，把几何条件、几何目标“翻译”成代数条件、代数目标．

解析几何中数学运算的核心在于运算思维，而不是运算技巧．教学时，应在运算对象、运算条件、运算目标分析上多花时间，在运算思路与方法的探索和寻找上多花时间，在运算难点的突破上多花时间．应通过对解题思路与方法的反思，有意识地积累运算经验、优化运算方法，提升运算素养，真正做到为迁移而教、为迁移而学．

5.解析几何中数学运算心理和习惯的优化

任何问题的解决都离不开认知与情感两个方面．针对学生中普遍存在的运算怕难、怕繁心理，教师应首先做运算不怕难、不怕繁的示范和表率，并通过具体运算案例破除学生运算怕难、怕繁心理．针对学生运算粗心大意、低级错误经常发生的现象，教师一方面要培养学生一丝不苟、严谨细致的运算习惯；另一方面，要控制作业总量，为学生养成良好的运算习惯提供时间上的保障．应通过具体运算案例和解题感悟，有意识地培养学生的信心、细心、耐心，培养学生有条理地、程序化解决问题的习惯，检查与复核的习惯．[1]

六、结束语

六大数学学科素养是一个既相对独立、又相互交融的整体，应清楚地看到数学运算素养背后蕴含的数学抽象素养、直观想象素养、逻辑推理素养和数学建模素养，应清醒地意识到解析几何需要培养包括数学运算素养在内的各个数学学科素养．为了使各个数学学科素养的培养都能落到实处，数学教学宜统筹规划、整体安排，根据不同内容所蕴含的数学思想方法，系统地、各有侧重地加以培养．

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