新高考数学-函数也可以这么简单!
解答题
1.已知函数,
(1)当时,求函数
的最大值和最小值;
(2)若实数a使得对,
恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)最大值为
,最小值为
;
(2)
【分析】
(1)采用换元法可将函数化为,
;由二次函数图象和性质可求得最大值和最小值;
(2)若不等式恒成立则需,从而得到结果.
【详解】
(1)令
,
当时,
;当
时,
即最大值为
,最小值为
;
(2)由恒成立得:
由(1)知,
的取值范围为
.
【点睛】
思路点睛:本题考查与指数函数有关的二次函数型的最值的求解、恒成立问题的求解;解决此类问题常采用换元法的方式,将函数转化为二次函数,从而利用二次函数图象与性质来进行求解;易错点是忽略换元后,新变量的取值范围,造成求解错误.
2.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为:P= 【答案】销售额的最大值为1125元,且在第25天时日销售金额达到最大. 【分析】 先化简函数解析式,再求出各段的最大值,比较得出函数的最大值. 【详解】 设日销售金额为 即 当 当 综上所述, 所以,第25天日销售金额最大,最大值为1125元.(t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q=40-t(0
元,则
,
,
时,
,
时
有最大值900;
时,
是减函数,
时
有最大值1125.
时
有最大值1125,
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