一评一思一涅槃四两拨千斤

——曲线内两垂直弦所产生的最值问题

【点评 1】焦点弦长关于角的公式的推导如下：

解析：刻画圆的弦长，引入圆心距来刻画，弦长表示非常简洁，

注 1：如果求面积的最小值，则可以考虑消元构造二次型函数，得到当一条线为直径的时候，即两弦长相差最大时，面积最小。

的与面积最值在同一个地方取到，但结论恰好相反。

注 3：（拓展）对于抛物线和椭圆，求两互相垂直的焦点弦长之和、面积的最值，考虑

【解题反思】普遍性寓于特殊性之中：追求从一个题看到一类题，从抛物线看到了椭圆，在极坐标系下，结论是惊人的一致，体现了数学的和谐与美；同时要注意圆、抛物线本身的特殊性，选择相应最优的方法。

联系具有普遍性、客观性和多样性：事物是相互联系，思想方法亦是如此，注意它们之间的共通性，能够更好地进行整合、抓住其本质。基本问题的变式是训练的重点：弦长和面积皆为几何中的基本问题，求变，并强化这些基本问题的训练。记住结论、秒杀：利用弦长关于角的公式等相关结论，常常可以秒杀全国卷诸多解析几何题目。圆锥曲线和圆一样，具有很多优美的性质，对一些常考的结论进行积累和应用。

【考试中心的试题评价】试题设计源于教材又高于教材，将抛物线的定义、两条直线垂直、直线被圆锥曲线所截得的相交弦长公式等知识有机结合起来，在重视对解析几何基础理论知识考查的同时，侧重考查了考生的逻辑推理能力和运算能力。本题已知条件的设计、符合广大考生的学习实际，给考生提供了多种分析问题和解决问题的思路，引导学生善于抓住解析几何问题的本质，在剖析问题本质的基础上，追求简洁的解题方式。本题的解题方法部分源于教材，难度适中，其灵活性主要体现在对抛物线概念的理解和应用上。

试题能较好地区分不同层次的考生，具有较好的选拔功能。而且试题的设计了新课程标准下解析几何部分内容的教学要求，有利于考查考生的逻辑分析能力、构图想象素养及运算求解能力。

基于焦点弦和焦半径公式的合理运用高效的破解了相关问题，相应的结论在全国卷中得到反复考查，在《解析几何的系统性突破》已经作了详细的介绍，在此处再举 2 个例子来说明起优越性。

本文选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

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