数学技巧篇25:定积分不等式证法研究2-另外四种证法

天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。

----《孟子 告子下》

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1. 利用泰勒公式证之

凡题设或题断中给出被积函数二阶或二阶以上导函数符号的信息时，可用泰勒展开证明有关积分不等式

例【490】设 在 上有二次可导,且 , 证明:

证:将 在 处展为一阶泰勒公式。注意到 , 有

则

由（公式可左右滑动）

即

2. 利用二次三项式的判别式的性质证之

对非正（负）或恒正（负）的实二次三项式，常利用其判别式证明有关积分不等式

例【491】 设 在 上连续,试证

且等号仅当 或 时成立 为常数

证：令 , 则

因此

显然上式右边为一个关于 的非负的实二次三项式,其判别式 ,即

当 , 即 ,亦即 或 )时,其中 为常数, 上述二次三项 等于 0 ,其判别式必等于 0 ,于是上式中等号成立，故得证。

3. 利用函数图形的凹凸性（几何特性）证之

例【492】 设 在 上有二阶导数,且 , 证明

证:因 ,故曲线 在 上是四的,可得方程

因在 上, , 故

证明:

(2)下证右边不等式成立，引入变限积分

归结证明 事实上

由拉格朗日中值定理得到

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